昼間、妹なおぽんからなぜか数学の問題が図入りで送られてきた。
面積が54√3の正六角形の外周を、半径１の円が滑ることなく回転して出発点に戻るとき、円の中心の軌跡の長さとして正しいものはどれか。
（※ほんとはこの下に選択肢があるのだが、この時点では見ないものとする(苦笑)）
ゴゾーさん、かわいい妹のために考えました。一時間半考えました。
…答え、出ました＿|￣|○ぜはー
というわけで、かなり適当に解説をしようと思う。なおぽんに「ネット解説よろしこ」と言われたし。
正六角形の辺の長さをｘとしましょう。
まず、円の中心はひたすら１の距離で平行に六角形の辺にそって動きます。
しかし、円が六角形の点にさしかかったとき、どんな動きをするでしょうか？…くるっとカーブしますよねｄ(・∀・)つまり、このとき円の中心は、正六角形の点を中心とした半径１の扇形に軌跡を描きます。
円の中心の軌跡は正六角形にはならず、角が丸っこい六角形のような形になるわけです*1。
図が汚いのはご愛嬌(爆)
で、この*2扇形の内角は何度でしょうか？
正六角形の一角は確か120゜です(￣▽￣;)だよね？
扇形でない部分では、中心は辺とひたすら平行に進む…つまりは辺と軌道との距離が『垂直に』１でなければらないので、
360−120−90−90＝60
つまり、扇形は内角60゜！(・∀・)
ということは、円の中心の軌跡は、扇形が６つと、正六角形の辺全て(6x)を足した長さになるわけです。
扇形が６つ…扇は１つ60°
ということは、60×６＝360
あれあれ？つまり、扇形６つは半径が１の円の円周と全く同じ長さ！Σ(￣□￣)
ここで、先に扇形６つの長さを出します。円周率をπ*3とすると、
２×π×１＝２π
これが扇形６つの長さ！(・∀・)
つぎは、正六角形の一辺の長さを出しますよ。一辺は、xという長さでしたね。
正六角形は一辺がｘの正三角形が６つある、と私は考えました*4。
ここで三平方の定理*5を用いて、正三角形の高さは二分の√３ｘです(←ブログ上だと書きにくいなぁ(汗）)
正三角形の面積を六倍にしたのが54√３なので、
見えるかな〜(汗)。つまり、正六角形の一辺の長さは６！*6
ここから円の中心の軌跡を出すと、
６×６＋２π＝36＋２π
答えは、36＋２π(≧▽≦)☆
ここで、上に書かなかった選択肢を載せましょう。
1、12+2π
2、12√3+2π
3、36+2π
4、24√3
5、48
こたえは、３！
……果たしてこれで合ってますでしょうか理系の皆さん(￣▽￣;)
ていうかこれ、何年生の数学でしょうか？
